自然数包括

　　答案：自然数包括正整数和零。

　　自然数包括正整数和零，自然数是用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数，表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的团体，自然数有有序性，无限性，分为偶数和奇数，合数和质数等。

　　自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的团体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。

　　表示物体个数的数0、1、2、3、4、5、6、……叫自然数。

　　从历史上看，国内外数学界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一向规定自然数不包括0。目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。

　　自然数集N是指满足以下条件的集合：

　　①N中有一个元素，记作1。

　　②N中每一个元素都能在 N 中找到一个元素作为它的后继者。

　　③1是0的后继者。④0不是任何元素的后继者。

　　⑤不一样元素有不一样的后继者。

　　⑥（归纳公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后继者也在M中，那么M=N。

　　自然数的分类：

　　1、按是否是偶数分，可分为奇数和偶数。奇数：不能被2整除的数叫奇数；偶数：能被2整除的数叫偶数，也就是说，除了奇数，就是偶数

　　注：0是偶数。(2002年国际数学协会规定，零为偶数，我国2004年也规定零为偶数，偶数能够被2整除，0照样能够，只可是得数依然是0而已)。

　　2、按因数个数分，可分为质数、合数、1和0。质数：仅有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数，也称作素数；合数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数；1：仅有1个因数；它既不是质数也不是合数，当然0不能计算因数，和1一样，也不是质数也不是合数。

　　注：那里是因数不是约数。

　　自然数的性质

　　1.对自然数能够定义加法和乘法。其中，加法运算“+”定义为：

　　a + 0 = a;

　　a + S(x) = S(a +x)， 其中，S(x)表示x的后继者。

　　如果我们将S(0)定义为符号“1”，那么b + 1 = b + S(0) = S( b + 0 ) = S(b)，即，“+1”运算可求得任意自然数的后继者。

　　同理，乘法运算“×”定义为：

　　a × 0 = 0;

　　a × S(b) = a × b + a

　　自然数的减法和除法能够由类似加法和乘法的逆的方式定义。

　　2.有序性。自然数的有序性是指，自然数能够从0开始，不重复也不遗漏地排成一个数列：0，1，2，3，…这个数列叫自然数列。一个集合的元素如果能与自然数列或者自然数列的一部分建立一一对应，我们就说这个集合是可数的，否则就说它是不可数的。

　　3.无限性。自然数集是一个无穷集合，自然数列能够无止境地写下去。

　　对于无限集合来说“，元素个数”的概念已经不适用，用数个数的方法比较集合元素的多少只适用于有限集合。为了比较两个无限集合的元素的多少，集合论的创立者德国数学家康托尔引入了一一对应的方法。这一方法对于有限集合显然是适用的，21世纪把它推广到无限集合，即如果两个无限集合的元素之间能建立一个一一对应，我们就认为这两个集合的元素是同样多的。对于无限集合，我们不再说它们的元素个数相同，而说这两个集合的基数相同，或者说，这两个集合等势。与有限集比较，无限集有一些特殊的性质，其一是它能够与自我的真子集建立一一对应，例如:

　　0 1 2 3 4 …

　　1 3 5 7 9 …

　　这就是说，这两个集合有同样多的元素，或者说，它们是等势的。大数学家希尔伯特曾用一个趣味的例子来说明自然数的'无限性：如果一个旅馆仅有有限个房间，当它的房间都住满了时，再来一个旅客，经理就无法让他入住了。但如果这个旅馆有无数个房间，也都住满了，经理却仍能够安排这位旅客：他把1号房间的旅客换到2号房间，把2号房间的旅客换到3号房间，……如此继续下去，就把1号房间腾出来了。

　　4.传递性：设 n1，n2，n3 都是自然数，若 n1>n2，n2>n3，那么 n1>n3。

　　5.三岐性：对于任意两个自然数n1，n2，有且仅有下列三种关系之一：n1>n2，n1=n2或n1<n2。

　　6.最小数原理：自然数集合的任一非空子集中必有最小的数。具备性质3、4的数集称为线性序集。容易看出，有理数集、实数集都是线性序集。可是这两个数集都不具备性质5，例如所有形如nm(m>n，m，n 都是自然数)的数组成的集合是有理数集的非空子集，这个集合就没有最小数;开区间(0，1)是实数集合的非空子集，它也没有最小数。

　　具备性质5的集合称为良序集，自然数集合就是一种良序集。容易看出，加入0之后的自然数集仍然具备上述性质3、4、5，就是说，仍然是线性序集和良序集。

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